\documentclass[14pt]{extarticle}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

\pagestyle{empty}

\hoffset=-0.8in %по горизонтали влево на \hoffset
\voffset=-1.48in %по вертикали вверх на \voffset

\textwidth=185mm %ширина листа
\textheight=270mm %высота листа

%\def\q#1. {\noindent\phantom{1}{\bf#1.} }

\begin{document}


\noindent{\it Гимназия 1543, ВМШ 7 класс \hfill  Серия 10 \quad 13.12.12}
\hrule

\medskip
\centerline{{\large \bf Феодалы}}
\medskip

\newcounter{prbs}
\addtocounter{prbs}{0}
\newcommand{\q}{\noindent\phantom{1}{\bf\arabic{prbs}.} \addtocounter{prbs}{1}}

\q Между 9 планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим двусторонним маршрутам: \\Земля--Меркурий, Плутон--Венера, Земля--Плутон, Плутон--Меркурий, Меркурий--Венера, Уран--Нептун, Нептун--Сатурн, Сатурн--Юпитер, Юпитер--Марс, Марс--Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса?

\q В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие города).

\q 8 шахматистов играют в однокруговой турнир по шашкам. Вечером одного из дней соревнований, попивая чай, каждый из них назвал сколько он сыграл партий на данный момент. Могли ли у них получится наборы: a)~9, 8, 8, 7, 6, 5, 5, 4;\quad b)~7, 7, 6, 5, 4, 2, 2, 1;\quad c)~5, 5, 4, 4, 2, 2, 2, 2; \quad d)~6, 6, 6, 5, 5, 3, 2, 2?

\q В психиатрической больнице есть главный врач и много сумасшедших. В течение недели каждый сумасшедший один раз в день кусал кого-нибудь (возможно и себя). В конце недели оказалось, что у каждого из больных по два укуса, а у главного врача~--- сто укусов. Сколько сумасшедших в больнице?

\q Для натуральных $x,y,z$ известно, что $x^2+y^2=z^2$. Докажите, что хотя бы одно из них делится на 5.

\q Пусть $a$ и $b$ некоторые положительные действительные числа, причём $a>b$. Какая из дробей~--- a/b или b/a~--- меньше отличается от числа 1? 

\q Можно ли нарисовать на плоскости 9 отрезков так, чтобы каждый пересекался ровно с тремя другими? 

\q Сколько существует способов выпилить из шахматной доски прямоугольник, идущим по границам клеточек? (Можно вырезать из середины.)

\vfill

\phantom{1}\hfill{\itВ 2006 году Плутон перестал быть планетой, став карликовой планетой.}

\bigskip

\hrule
\medskip
\centerline{\it Материалы, а также полезная информация есть на сайте:}

\centerline{http://www.mccme.ru/s43/math/}



\end{document}


