\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 23\qquad  11.04.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Роковая серия}
\medskip

\q1. Девочка Настя сошла с ума от математики, сделала игральный икосаэдр и стала его подкидывать. 
Какова вероятность, что за 2 последовательных броска сумма выпавших очков будет от 11 до 30 включительно?

\q2. В жезле $n$ полосок, каждую из которых можно покрасить в черный или белый цвет. 
Если одна раскраска получается из другой переворотом жезла, то они считаются одинаковыми.
Сколько существует различных жезлов?

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. Найдите остаток $6^{83}+8^{83}$ при делении на 49.

\q4. Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа $n$, 
взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности,
что записываемое этими цифрами число делится на~$n$.

\q5.  В некоторых деревнях России существовало когда-то следующее гадание:

Девушка зажимала в руке шесть травинок так, чтобы концы травинок торчали сверху и снизу; 
подруга связывала эти травинки попарно между собой сверху и снизу в отдельности. 
Если при этом все шесть травинок оказывались связанными в одно кольцо, то это означало, 
что девушка в текущем году выйдет замуж. 

Какова вероятность того, что травинки при завязывании наудачу образуют кольцо?

\q6. Дана последовательность $x_1$, $x_2$, \ldots, заданная следующим образом: $x_1=1$, а при $k\geq 2$ каждый член $x_k$ на $k$ больше суммы всех предыдущих членов. Найдите сумму первых 100 членов последовательности.

\q7. Вспомните разбор задачи 20.1b и попробуйте доказать {\bf теорему Чевы} : \\
На сторонах $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $АВС$ взяты точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. \\
a) Если чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке, то 
\begin{equation}
\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}=1.
\end{equation}
b) Если выполнено (1), то чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке.

\smallskip

{\it Замечание. Полная формулировка теоремы Чевы звучит так:\\
На прямых $BC$, $CA$ и $AB$ треугольника $АВС$ взяты точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно,
причем нечетное число (три или одна) из них лежат на сторонах, а остальные -- на продолжениях сторон. Тогда прямые 
$AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда
$$\frac{AB_1}{B_1C}\cdot \frac{CA_1}{A_1B}\cdot \frac{BC_1}{C_1A}=1.$$}

\smallskip

c) Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается сторон $BC$, $CA$ и $AB$ 
в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Докажите, что отрезки $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$
пересекаются в одной точке, называемой {\bf точкой Жергона}.

% \bigskip
% 
% {\sc Запоздалая историческая справка.}
% 
% 


% \q7. a) Пусть $p\in\mathbb{P}$. Пусть для числа $s$ {\bf не существует} такого числа $x$, что $x^2\mod_p s$.
% Докажите, что $s^{(p-1)/2}\mod_p (p-1)!$.
% b) Пусть $p\in\mathbb{P}$. Пусть для числа $s$ {\bf существует} такое число $x$, что $x^2\mod_p s$.
% Докажите, что $s^{(p-1)/2}\mod_p -(p-1)!$.
% 
% На сколько нулей может оканчиваться $11^n-1$ ? 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
