\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 22\qquad  04.04.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Кармайкл и Герон}
\medskip

\q1. Для каких простых $p$ выполнено $29^p+1\divby p$ ?

\q2. Найдите вероятность того, что, извлекая наудачу 5 флажков из ящика, в котором 8 красных и
7 желтых флажков, мы вытащим ровно 3 красных и 2 синих флажка.

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. {\bf (Число Кармайкла)} Докажите, что для любого целого $a$ выполнено $a^{561}-a\divby 561$.

\q4. Докажите, что из ста чисел можно выбрать несколько, сумма которых делится на~100.

\q5. $ABCD$~--- трапеция с основаниями $AD$ и $BC$, $O$~--- точка пересечение $AC$ и $BD$. Докажите, что 
$S_{AOB}=S_{COD}=\sqrt{S_{BOC}\cdot S_{DOA}}$.

\q6. Пусть каждое из натуральных чисел $n$, $n+1$, $n+2$ делится на квадрат любого своего простого
делителя. Докажите, что число $n$ делится на куб некоторого своего простого делителя.

\q7. {\bf (Формула Герона)} Докажите, что площадь треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ равна 
$$S=\sqrt{p\cdot (p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c)},$$ где $p$~--- полупериметр.
% 
% 
% \bigskip
% 
% {\sc Запоздалая историческая справка.}
% 
% 


% \q7. a) Пусть $p\in\mathbb{P}$. Пусть для числа $s$ {\bf не существует} такого числа $x$, что $x^2\mod_p s$.
% Докажите, что $s^{(p-1)/2}\mod_p (p-1)!$.
% b) Пусть $p\in\mathbb{P}$. Пусть для числа $s$ {\bf существует} такое число $x$, что $x^2\mod_p s$.
% Докажите, что $s^{(p-1)/2}\mod_p -(p-1)!$.
% 
% На сколько нулей может оканчиваться $11^n-1$ ? 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
