\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 21\qquad  28.03.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Вильсон}
\medskip

\q1. Докажите, что $(2p-1)!-p$ делится на $p^2$.

\q2. a) Точка $X$ расположена внутри параллелограмма $ABCD$. Докажите, что 
$S_{ABX}+S_{CDX}=S_{BCX}+S_{ADX}$.\\
b) Катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза~--- $c$. 
С помощью понятно чего найдите его высоту, опущенную на гипотенузу.

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. Для скольких натуральных чисел $i<1000$ существует натуральное
число $j<1000$ такое, что $2^{j}-1\divby i$?

% \q4. Для каких простых чисел $p$ выполнено $29^{p}+1\divby p$ ?

\q4. Назовем натуральное число $n$ {\it удобным}, если $n^2+1$ делится на 1000001. 
Докажите, что среди чисел 1, 2, \ldots, 1000000 четное число удобных.


\q5. a) В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$ \quad $\angle A=\angle A_1$.
Докажите, что ${S_{ABC}:S_{A_1B_1C_1}}=(AB\cdot AC):(A_1B_1\cdot A_1C_1)$.

{\it Указание: постройте треугольник, равный $A_1B_1C_1$, у которого одна вершина совпадает с $A$, а две другие лежат на лучах $AB$ и $AC$.}\\
b) Докажите с помощью площади, что биссектриса треугольника делит его сторону 
на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

\q6. Докажите, что в произвольном графе можно раскрасить вершины в два цвета 
таким образом, чтобы минимум половина рёбер оказались разноцветными.

\q7. Про натуральные числа $a$, $b$, $n>1$ известно, что $[a,b]=(a-b)^n$.
Докажите, что~$n=2$.


% На сколько нулей может оканчиваться $11^n-1$ ? 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
