\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 20\qquad  21.03.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Ферма и Эйлер}
\medskip

\q1. В треугольнике $ABC$ проведена чевина $CK$. На $CK$ выбрана точка $L$. Докажите, что 
a) $S_{BLK}:S_{ALK}=S_{BCK}:S_{ACK}$;\quad b) $S_{BLC}:S_{ALC}=S_{BCK}:S_{ACK}$.

\q2. Вспомните доказательство Малой теоремы Ферма через приведенную систему вычетов и докажите
{\bf теорему Эйлера}: пусть $(a,n)=1$ тогда $a^{\varphi(n)}\equiv 1\pmod n$.

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. Числа $p$, $2p+1$ и $4p+1$~--- простые. Найдите $p$.

\q4. Пусть $p>5$~--- простое. Докажите, что существует такое натуральное $n$, что число 
$\underbrace{99\ldots 9}_{n\text{ раз}}$ делится на $p$.

\q5. Дан четырехугольник $ABCD$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
Докажите, что $S_{ABO}=S_{CDO}$ тогда и только тогда, когда $ABCD$~--- трапеция.

{\it Задумайтесь, а что если пересекаются не отрезки $AC$ и $BD$, а прямые? }

\q6. Назовем раскраску доски $8\times8$ в три цвета {\it хорошей}, если в любом уголке из 
пяти клеток присутствуют клетки всех трех цветов. Докажите, что количество хороших 
раскрасок не меньше, чем $6^8$.

\q7. В квадрате $3\times 3$ расставлены числа от 1 до 9 так, что суммы чисел в любой строке, 
столбце и главных диагоналях равны. Докажите, что сумма квадратов чисел в верхней строчке 
равна сумме квадратов чисел в нижней.


% На сколько нулей может оканчиваться $11^n-1$ ? 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
