\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 18\qquad  21.02.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Уральская}
\medskip

\q1. На доске написаны несколько дробей. Сумма всех дробей с нечетными знаменателями равна произведению всех дробей с четными знаменателями. Могут ли все дроби быть несократимыми?
% УрТур 43

\q2. В лагерь заехало несколько детей, среди которых есть двое знакомых и есть двое незнакомых. Докажите, что среди них можно выбрать троих таким образом, чтобы один из этих троих был знаком ровно с одним из двоих оставшихся.
% УрТур 43

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. Натуральное число $n<10000$ таково, что число $n+100!$~--- простое. Докажите, что число $n$ тоже простое или равно 1. 
% УрТур 43, комол, 6 класс

\q4. В таблице $3\times 3$ расставлены 9 чисел так, что 6 сумм этих чисел во всех строках и столбцах таблицы различны. Какое наибольшее количество чисел в этой таблице может равняться единице?
% УрТур 43, комол, 6 класс

\q5. Квадрат $40\times 40$ разбит на 400 Г-тетрамино. Докажите, что найдется прямая, идущая по линии сетки, которая хотя бы 6 из них разрезает на две доминошки.
% УрТур 43, комол, 6 класс

\q6. Можно ли первые 1000 простых чисел, больших двойки, разбить на две группы по 500 чисел таким образом, чтобы суммы квадратов чисел в этих группах были равны?
% УрТур 43

\q7. Игорь отметил внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ две точки $P$ и $Q$. Ему показалось, что каждый из отрезков $DP$ и $BP$ больше, чем каждый из отрезков $AP$ и $CP$, а каждый из отрезков $DQ$ и $BQ$, наоборот, меньше, чем каждый из отрезков $AQ$ и $CQ$. Докажите, что Игорь заблуждается.
% УрТур 43



% На сколько нулей может оканчиваться $11^n-1$ ? 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
