\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 15\qquad  31.01.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Меж двух}
\medskip

\q1. Пусть a) $n=pqr^2$;\quad b) $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_{s}^{\alpha_s}$. Найдите сумму делителей числа $n$.

\q2. Может ли число делится на 8 и давать остаток остаток 10 при делении на 12?

\medskip
\hrule
\medskip

\q3.  Через точку $P$ медианы $CC_1$ треугольника $ABC$ проведены прямые $AA_1$ и $BB_1$ (точки $A_1$ и $B_1$ лежат на сторонах $BC$
и $CA$). Докажите, что $A_1B_1\parallel AB$.

\q4. Есть 4 натуральных числа. Могут ли их попарные НОДы образовывать шесть последовательных чисел?

\q5. В графе со 100 вершинами без треугольников степени всех вершин больше 40. Докажите, что в этом графе нет циклов длины 5.

\q6. В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой ровно один матч. 
В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды
набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее 
число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью~--- одно, за поражение~--- ноль?

\q7. a) Докажите, что для любого натурального $n$ числа $$2^{\displaystyle 2^{0}}+1\text{, }2^{\displaystyle 2^{1}}+1\text{, \ldots, }2^{\displaystyle 2^{n}}+1$$
попарно взаимно просты.\\ b) Выведите из пункта a), что простых чисел бесконечно много.
 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
