\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 14\qquad  24.01.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Числа Ферма}
\medskip

\q1. Пусть $a>1$~--- натуральное число. Найдите $(a^n-1, a^m-1)$.

\q2. Пусть $p$~--- простое и $n<p<2n$. Докажите, что $C_{2n}^n$ делится на $p$.

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. Семь грибников собрали вместе 59 грибов, причем каждый собрал разное количество. Докажите, что какие-то три грибника собрали вместе не менее 33 грибов.

\q4. Про целые числа $x$, $y$, $z$ известно, что $(x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z$. Докажите, что $x+y+z$ делится на 27.

\q5.  Для любого положительного числа $a$ докажите неравенство $$a+a^9+a^{25}<1+a^4+a^{16}+a^{36}.$$

\q6. Точки $K$ и $L$ на стороне $AB$ треугольника $ABC$ таковы, что $\angle ACK=\angle KCL=\angle LCB$. Точка $M$ на $BC$ такова, что $\angle MKC=\angle BKM$. $ML$~--- биссектриса угла $KMB$. Найдите угол $MLC$. 

\q7. Докажите, что если число $2^n+1$~--- простое, то $n$~--- степень двойки.

\bigskip

{\sc Историческая справка.} Числа вида $2^{\displaystyle 2^n}+1$ называются {\it числами Ферма}. Ферма выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа $2^{\displaystyle 2^{5}}+1$ на простые делители: $$2^{\displaystyle 2^5}+1=4294967297=641\cdot 6700417.$$ 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
