\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 13\qquad  17.01.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Чертова дюжина}
\medskip

\q0. Разложите 2014 на простые множители. Запомните это разложение!

\q1. Чему равен $(\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ единиц}},\underbrace{11\ldots1}_{m\text{ единиц}})$?

{\it Указание: алгоритм Евклида}

\q2. Пусть $a=p_1^{\alpha_1}\cdot\ldots\cdot p_s^{\alpha_s}$, $b=p_1^{\beta_1}\cdot\ldots\cdot p_s^{\beta_s}$. Докажите, что \\
a) $(a,b)=p_1^{\min(\alpha_1,\beta_1)}\cdot\ldots\cdot p_s^{\min(\alpha_s,\beta_s)}$, где $\min(x,y)$~--- это наименьшее из чисел $x$ и $y$;\\
b) $[a,b]=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)}\cdot\ldots\cdot p_s^{\max(\alpha_s,\beta_s)}$, где $\max(x,y)$~--- это наибольшее из чисел $x$ и $y$;\\
с) $(a,b)\cdot [a,b]=a\cdot b$.

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. Может ли точный квадрат иметь поровну натуральных делителей вида $3k+1$ и $3k+2$?

\q4. Среди нескольких команд провели круговой турнир по волейболу (каждая команда сыграла с каждой по одному разу, ничьих не бывает). 
Команда А называется сильнее команды В, если А выиграла у В или, если есть команда С, которая выиграла у В и проиграла А. 
Доказать, что победитель турнира (набравший наибольшее число очков) сильнее всех.

\q5. Биссектриса угла $A$ и внешняя биссектриса угла $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $I_A$. 
Оказалось, что $\angle I_ABC=\angle B$. Найдите угол $B$.

\q6. $a$ и $b$~--- натуральные числа, причем число $a^2+b^2$ делится на 21. Докажите, что оно делится на 441.

\q7. Три числа $a, b, c$ выбраны так, что выполнены равенства $a^2-bc = b^2-ac = c^2-ab$. 
Найдите все значения, которые может принимать величина $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}.$$



 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
