\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 12\qquad  13.12.2013}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf КолХоз ``Пятница тринадцатое''}
\medskip

\q1. Пусть $p\in \mathbb{P}$. Докажите, что a) $C_{p}^k\divby p$, где $0<k<p$;\quad b) $(a+b)^p\mod_{p} a^p+b^p$.\\
c) {\bf (Малая теорема Ферма)} Докажите, что для любого натурального $n$ верно $n^p\mod_{p} n$.

\q2. Каждая из девочек после отбоя не более двух раз поболтала по телефону. Докажите, что их
можно разбить на три группы так, чтобы в каждой группе не было болтавших девочек.
% разобрать лемму о хороводах

\q3. Ненулевые числа $x$, $y$ и $z$ таковы, что $x+y+z=1$ и $1/x+1/y+1/z=0$. Докажите, что $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$.

\q4. Натуральное $n$ называется {\it избыточным}, если сумма всех его натуральных делителей, кроме него самого, больше $n$. 
Докажите, что кратное избыточного числа тоже избыточно.
% УТЮМ23, (Ирландия, 1997)
% Достаточно заметить, что если n делится на m, то kn делится на km при любом натуральном k.

\q5. Докажите, что $(3^n+1)^n-2$ делится на $3^n-2$.

\q6. $M$~--- конечное множество точек на плоскости. Для каждого натурального ${i\leq 7}$ существует окружность, проходящая ровно через $i$ точек $M$. Какое наименьшее количество точек может быть в $M$? 

\q7. Докажите, что правильный треугольник можно разрезать на любое количество правильных треугольников, большее 5. 
(Треугольники не обязаны быть одинаковыми.)

\q8. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A$. Из вершины $A$ проведена высота $AD$. В треугольнике $ABD$ проведена биссектриса $BE$. Докажите, что $AB+AE=BC$. 

\q9. Несколько семиклассниц собрали поровну шишек. Время от времени какие-то семиклассницы
раздают каждой из остальных поровну из своих шишек. После многократного повторения такой процедуры 
у Гертруды осталось 23 шишки, а у Нинели~--- 6 шишек. Сколько было семиклассниц?

\q10. В школе 40 кабинетов, которые открываются ключами 5 разных видов, причем количество ключей разных видов различно. 
Все 40 ключей оказались заперты в комнатах, так, что в каждой комнате заперт один ключ, которым эту комнату открыть нельзя. 
Сторож Сергеев имеет дубликат ключа от одной из комнат. Докажите, что он может открыть все комнаты.

 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
