\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 10\qquad  29.11.2013}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Найдите наименьшее двузначное число}
\medskip


\q1. Докажите, что граф $K_5$ не планарен.

\q2. Докажите, что для каждого натурального $n$ дробь $\cfrac{12n+1}{30n+2}$ несократима.

\q3. Найдите наибольшее девятизначное число, составленное из различных ненулевых
цифр, которое делится на 45. Не забудьте пояснить, почему вам кажется, что оно
наибольшее.

\medskip
\hrule
\medskip

\q4. Докажите, что в планарном графе есть вершина степени не более 5.

\q5. Хулиган Юра отобрал у милой девочки Полины открытку размерами $m\times n$ 
сантиметров и начал ее резать. Каждый раз он отрезает от открытки квадрат с
максимально возможной стороной. Добрый преподаватель Максим Амирьянович отобрал 
у хулигана Юры остаток открытки, который имеет форму квадрата. С какой стороной?

\q6. Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено $(F_{n-1},F_{n})=1$.

\q7. Можно ли записать 1 в виде суммы 2014 слагаемых вида $\cfrac{1}{3k-1}$ с натуральными~$k$? 
% разобрать 4.6 !!!

\q8. В кружке прикладного прикалывания 14 человек прикалываются кнопками,
13~--- значками и 13~--- булавками. Всего в кружке 20
приколистов и каждый из них прикалывается не менее чем двумя предметами.
Сколько кружковцев прикалываются кнопками, булавками и значками
одновременно?

\q9. Докажите, что $2009!!+2010!!$ делится на 2011, где  $n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\cdot \ldots$ .

\q10. Через клетчатый квадрат $1000\times 1000$ проведено по линиям сетки
несколько прямых. Образовавшиеся при этом прямоугольные части раскрашены
в шахматном порядке в черный и белый цвета. Докажите, что количество черных
клеточек четно.

 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
