\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 3\qquad  27.09.2013}
\hrule

\medskip
\centerline{{\large \bf Индукция, Ватсон!}}
\medskip

\q1. Выведите явную формулу для $C_n^k$.

\q2. {\it Номером} будем называть произвольную последовательность цифр (в отличие от числа, номер может начинаться на 0). Сколько существует шестизначных номеров, у которых ровно три цифры чётные?
 
\q3. На плоскости лежат несколько прямых, разбивающих ее на части. Докажите по индукции, что эти части можно закрасить в 2 цвета правильным образом, то есть так, чтобы любые две части, граничащие по отрезку, были закрашены в разные цвета.

\medskip
\hrule
\medskip

\q4. С помощью бинома Ньютона докажите, что $C_n^0+C_n^1+\ldots+C_n^n=2^n$.

\q5.  Можно ли в таблицу $5\times 5$ записать числа 1, 2, 3, $\ldots$, 25 так, чтобы в каждой строке
сумма нескольких записанных чисел была равна сумме остальных чисел этой строки?

\q6. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $\angle A=\angle D$. Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, лежащей на стороне $AD$. Докажите, что диагонали $AC$ и $BD$ равны.

\q7. В самой левой клетке полоски  $1\times 100$ стоит ладья, которая может ходить только вправо. Сколькими способами она может добраться до самой правой клетки  a) ровно за 8 ходов;\quad b) за сколько угодно ходов?

\q8. В конференции участвовали 19 учёных. После конференции каждый из них отправил
2 или 4 письма участникам этой конференции. Могло ли получиться так, что каждый
участник получил по 3 письма?

\q9. Докажите, что число $\overline{abcdef}-\overline{defabc}$ делится на 27.

\q10. В Математической стране $n$ городов. Любые два города соединены дорогой с односторонним движением. Докажите, что найдётся город, из которого можно добраться до любого другого.
 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
