\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 


\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 2\qquad  20.09.2013}
\hrule

\medskip
\centerline{{\large \bf В отсутствии А.В.}}
\medskip

\q1. Докажите, что $C_n^0+C_n^1+\ldots+C_n^n=2^n$.

\q2. Сколькими способами можно разделить 10 человек на две команды по 5 человек?

\q3. a) Найдите явную формулу для $C_n^2$.\medskip
\hrule
\medskip
 b) Найдите явную формулу для $C_n^3$.


\q4. В одном доме живут 9 мальчиков и одна девочка. Назовем <<компанией>> любую группу, состоящую из двух или более детей из этого дома. Каких компаний больше: с~девочкой или без девочки? На сколько?

\q5. Из пяти миллионов болотных кикимор 30 процентов любят тяжёлый рок. В то же время, тяжёлый рок любят 90 процентов из десяти миллионов писаных красавиц. Докажите, что писаными красавицами является не более половины всех болотных кикимор.

\q6. Вася приобрёл 35 гирь по 2 грамма каждая и 5 гирь по 4 грамма каждая. Можно ли разложить их на две кучки равного веса?

\q7. Докажите, что $C_n^1+C_n^3+C_n^5+\ldots=C_n^0+C_n^2+C_n^4+\ldots$ (иными словами, количество подмножеств с нечётным числом элементов равно количеству подмножеств с чётным числом элементов).

\q8. Можно ли составить из цифр от 1 до 9 десятизначное число, в котором между цифрами 1 и 2, между цифрами 2 и 3, \ldots, между цифрами 8 и 9 стояло бы нечётное число цифр?

\q9. Действительные числа $a$, $b$, $c$, $d$ таковы, что $a+b=c+d$, $a^2+b^2=c^2+d^2$. Докажите, что $a^3+b^3=c^3+d^3$.

\q10. Имеется комната площадью 6 кв. метров, в котором постели три ковра, площадью 3 кв. метра каждый. Докажите, что какие-то два перекрываются по площади по меньшей мере 1 кв. метр.
 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
