\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 

\noindent{\it Гимназия №1543 \qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 1\qquad  13.09.2013}
\hrule

\medskip
\centerline{{\large \bf С Новым, математическим, годом!}}
\medskip

\q1. Докажите, что $C_n^k=C_n^{n-k}$.

\q2. Найдите количество чисел, не превосходящих 120, и a) делящихся  на 2 или на 3;\quad b)  делящихся  на 2, на 3 или на 5.

\q3. Самый высокий математик среди шахматистов и самый высокий шахматист среди  математиков~--- всегда ли это один и тот же человек?

\medskip
\hrule
\medskip

\q4. Докажите, что среди чисел, меньших 1000, поровну чисел с суммой цифр 15 и с суммой цифр 12.

\q5. Сколько существует шестизначных чисел, в которых нет двух рядом стоящих одинаковых цифр?

\q6. Костя пытается составить ''антимагический'' квадрат $4\times 4$ из чисел: $-$1, 0, 1, т. е. такой, что суммы чисел по вертикалям, горизонталям и двум диагоналям различны. Удастся ли это ему?


\q7. В кинотеатре 7 рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний. a) Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду. b) Верно ли утверждение пункта a), если детей 49?

\q8. Решите в целых числах уравнение $xy-x-y=5$.

\q9. На прямой отмечен отрезок $AB$ и 45 точек вне него. Докажите, что сумма расстояний от этих точек до точки $A$ не равна сумме расстояний до точкм $B$.

\q10. В олимпиаде, состоящей из 6 задач, участвуют 200 школьников. Известно, что каждую
задачу решили хотя бы 120 человек. Докажите, что можно выбрать двух школьников
таким образом, чтобы каждую задачу решил кто-либо из этой пары.
 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
