\documentclass[14pt,DIV14]{scrartcl}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{sheet}
\usepackage{multicol}
%\usepackage{xfrac}

\pagestyle{empty}
\topmargin=-2cm \textheight=25cm
\evensidemargin=-0,3cm \oddsidemargin=-0,3cm
\textwidth=16cm

\begin{document}
\sheet{Гимназия 1543, 11--В класс}{
Разнобой с комплексными числами}{4, 27 сентября  2012}

\setcounter{task}{40}

\begin{definition}
Пусть $z=a+bi$~--- комплексное число. \emph{Комплексно сопряженным} к $z$ числом называется $\bar{z}=a-bi$
\end{definition}

\begin{exercise} Вычислите \sub $\left(\dfrac1{1+i}\right)^4$ \sub $\dfrac1{a+bi}$. 
\end{exercise}

\begin{exercise} Докажите, что сопряжение согласовано с операциями т.е. \sub $\overline{z_1+ z_2}=\overline{z_1}+ \overline{z_2};$ \sub $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2};$ \sub $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}.$
\end{exercise}


\begin{task}
\sub Какие точки при изогональном сопряжении остаются на месте?
\sub Найдите точку изогонально сопряженную центру описанной окружности.
\end{task}

\begin{task}\sub Пусть числа $z_1$ и $z_2$ комплексно сопряжены. Докажите, что $z_1^n+z_2^n$ вещественно. \sub Пусть $z_1,z_2$~--- корни квадратного уравнения с рациональными коэффициентами. Докажите, что $z_1^n+z_2^n$~--- рационально.
\end{task}


\begin{task}
Многочлен $P(x)$ имеет действительные коэффициенты, но не имеет действительных корней. Докажите, что количество его комплексных корней~--- четно.
\end{task}



\begin{task}[Всероссийская 2004, финал]В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими  $k$  авиакомпаниям. Известно, что любые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на  $k+2$  группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.
\end{task}

\vfill 
\hrule
\medskip
\small{\it{\noindent Материалы в интернете:
[\href{http://s43.mccme.ru/math/uroki/2012_2013/11mat_1213.html}{{\tt http://s43.mccme.ru/math/uroki/2012\_2013/11mat\_1213.html}}].}}


\end{document}
\begin{definition}
\end{definition}
\begin{task}
\end{task}
\begin{axiom}
\end{axiom} 

